Sucesión
Es una función que asocia números naturales N con números
reales R. Con una sucesión se genera una secuencia u orden entre los números
que la componen.
En las sucesiones se usa la expresión {an} para
indicar las imágene4s o los términos de la función.
Ejemplo:
1; 2; 3; 4; 5; 6; ……n
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ……↓
a1;a2;
a3;a4;a5;a6; …… an
a1 se asocia al elemento 1, a2 se
asocia al elemento 2 y así sucesivamente hasta el último elemento n
Términos de una
sucesión
Los números a1,a2,a3,a4,a5,a6,
…… an,… son los términos de la sucesión. En general se les
conoce como:
a1 al
primer término de la sucesión
an al
término n-ésimo de la sucesión
an-1 al
término anterior al término n-ésimo de
la sucesión
Por ejemplo, en la sucesión formada por los números {5; 10;
15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50} se tiene como primer término a1=5;
como último término a10=50 y como anterior a este a1-10 =
a9 =45
Término general de
una sucesión
El término general de una sucesión es la ley o función
matemática que permite determinar cualquier término de la sucesión, y se denota
usando el término n-ésimo an.
Ejemplo:
La sucesión 1; 2; 4; 8; 16; 32;… está definida por las
potencias de base 2 y exponente mayor o igual a cero, entonces cualquier
término de la sucesión se puede escribir como an = 2n.
Ejercicio:
Progresión aritmética
Existen dos clases de sucesiones aritméticas que, según como
se forman sus términos, tienen un tratamiento especial. Una de ellas es la
llamada progresión aritmética que se define como una sucesión de números
tales que cada término, excepto el primero, es la suma del término anterior y
un número constante.
Ejemplo
Tenemos el conjunto 48; 42; 36; 30; 24; 18
El primero término es 48
El segundo es 42 pues 42=48+(-6)
El tercer término es 36 pues 36=36+(-6)
El cuarto término es 30 pues 30=36+(-6)
El quinto término es 24 pues 24=30+(-6)
El sexto término es 18 pues 18=24+(-6)
En este caso el
número constante es -6
La cantidad constante que se adiciona recibe el nombre de razón o diferencia, por ser igual a la
diferencia entre un término cualquiera de la sucesión (an) y su
anterior (an-1). La razón se puede expresar con la letra d,
y su valor se calcula con la siguiente fórmula:
d = am – am-1
De esta fórmula se puede deducir otras dos con las cuales
calcular el término anterior y el posterior a un término dado, conociendo la
razón de la progresión:
am = am-1 + d am-1 = am -
d
Ejercicios:
Término general de
una progresión aritmética
Dada una progresión aritmética a1, a2,…an,
es posible obtener el término general o término enésimo. La fórmula se puede
deducir al escribir cada término en función del anterior así:
an = a1
+ (n – 1) . d
Ejercicio:
A partir de la fórmula del término enésimo se pueden deducir
las siguientes fórmulas:
Primer término de una
progresión: Si se conoce la razón, otro término y la posición m de este término, se tiene que:
a1 = am
– (m – 1) . d
La razón: Si se
conoce el primer término, un término cualquiera y su posición m, se tiene que:
d = am –
a1
m - 1
Número de términos.
Si se conoce la razón, el primero y el último término de la progresión se
genera la siguiente fórmula:
n = an
– a1 + 1 = an – a1 + d
d d
Ejercicio:
Suma de los términos
de una progresión aritmética
La suma de los términos de una progresión aritmética se
denota como Sn, en donde n indica la cantidad de términos de la
progresión que se desean sumar, por ejemplo S7 indica l suma de los
siete primeros términos de la progresión.
La fórmula para calcular la suma de los n términos de una
progresión aritmética es la siguiente:
Sn = (a1 + an)
n
2
Ejercicio:
Interpolación de
medios aritméticos
Los números que se encuentran entre dos términos de una
progresión aritmética reciben el nombre de medios aritméticos
Ejemplo:
En la progresión 5; 9; 13; 17 los términos 9 y 13 son dos
medios aritméticos entre 5 y 17. Interpolar medios aritméticos significa
encontrar los términos que van entre dos número dados de la progresión. Para
esto se requiere encontrar la razón o diferencia y luego formar la progresión
aritmética.
Ejercicios:
Progresión geométrica
Es una sucesión de números: a1, a2; a3;
a4;… an, en donde cada término, excepto el primero, es
igual al anterior multiplicado por una constante, no nula, llamada razón.
En una progresión geométrica la razón r se puede determinar dividiendo cualquier término, menos el
primero, entre el término anterior:
r =
an
an-1
Ejercicio:
Término general de
una progresión
Dada una progresión geométrica a1; a1;
a2; a3; a4…an, cada término de la
progresión se puede expresar de la siguiente forma:
a2=a1r, a3=a2r=(a1r)r
= a1r2; a4=a3r=(a1r2)
Si se conoce el primer término de una progresión geométrica,
el término general o término enésimo está dado por la siguiente fórmula:
an = a1 .r n-1
Ejercicio:
Suma de los términos
de una progresión geométrica
La suma de los términos de una progresión geométrica se
denota Sn, donde n indica la cantidad de términos de la progresión
que se desea sumar. Por ejemplo, S8 corresponde a la suma de los
ocho primeros términos de la progresión. La fórmula a aplicar seria la
siguiente:
Sn = a1 (rn
– 1) con r≠1
r – 1 .
Ejercicio:
Interpolación de
medios geométricos
Los números que se encuentran entre dos términos de una
progresión geométrica reciben el nombre de medio geométricos.
Ejemplo:
En la progresión {5; 30; 180; 1080} los términos 30 y 180
son dos medios geométricos entre 5 y 1080
Interpolar medios geométricos significa encontrar los
término que van entre dos número dados. Para esto es suficiente encontrar la
razón y luego formar la progresión geométrica. La interpolación de medio
geométricos permite completar una progresión geométrica, al determinar los
términos que se desconocen de la progresión. También permite insertar nuevos
términos dentro de un par de valores y así formar una nueva progresión
geométrica entre estos valores.
Ejercicio:
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